Ongelijkheid (wiskunde)

Ongelijkheden van de eerste graad

De ongelijkheden zijn in de wiskunde van minstens even groot belang als de vergelijkingen. In plaats van een isteken ( = ) worden hier de tekens > (groter dan) of < (kleiner dan) gebruikt, al dan niet in combinatie met een isteken: ≤ (kleiner dan of gelijk aan) en ≥ (groter dan of gelijk aan). Door van < de k van kleiner te maken ( |< ) onthoud je dit teken en dus de andere gemakkelijk.

Voorbeeld:

3 < 5  

dan is (logischerwijs)

5 > 3

Eigenlijk hebben we 3 en 5 met -1 vermenigvuldigd. Dan verandert blijkbaar < in > :

-3 > -5.

Vervolgens hebben we -5 overgebracht naar links en -3 naar rechts. Dan verandert (net zoals bij de vergelijkingen) het - teken voor 5 en 3.

5 > 3

Dus:
Als we links en rechts met een negatief getal vermenigvuldigen (of er door delen) verandert het ongelijkteken.
Als we iets van links naar rechts of omgekeerd verplaatsen, verandert – in + en + in -.

We kunnen ook ongelijkheden "oplossen", dat wil zeggen een waarde voor x vinden, bijvoorbeeld:

2x + 3 >  x – 1
2x – x > -1 – 3
x > - 4

3x – 1 <  x + 2
2x < 3
x < 1½ 

Omdat we in dit geval slechts één oplossing voor x vinden, heten dergelijke ongelijkheden: ongelijkheden van de eerste graad.

Ongelijkheden van de tweede graad

Wanneer we voor x twee oplossingen vinden, dan hebben we te maken met een ongelijkheid van de tweede graad. Voorbeeld:

x2 - 7x + 12 < 0.

Eerst ontbinden we het linkerlid (dat is alles wat links van het < teken staat) in twee factoren:

(x – 3)(x – 4) < 0

Nu is het product van twee factoren negatief, als een daarvan negatief is. (x -4) is kleiner dan (x-3), dus

x - 4 < 0
x - 3 > 0
x < 4 én x > 3

We schrijven dit korter:

3 < x < 4

en zeggen: x ligt tussen 3 en 4.

Controleren we dit door in x² - 7x + 12 < 0 een getal te nemen dat niet tussen 3 en 4 ligt, bijvoorbeeld 5, dan vinden we 2 als uitkomst, wat dus niet negatief is. Nemen we daarentegen voor x 3½, dan krijgen we – ¼ als resultaat, en dat is wél negatief.

Je kunt ook een eenvoudig tekeningetje maken. Het product is negatief, als de factoren verschillend teken hebben:

           3           4
-----------|-----------|------------        
           ------------------------>    x - 3 > 0, dan is x > 3 
<-----------------------                x - 4 < 0, dan is x < 4 

<-----------                            x - 3 < 0, dan is x < 3
                       ------------>    x - 4 > 0, dan is x > 4

We vinden de oplossing waar de pijltjes elkaar overlappen, dus tussen 3 en 4.

Nog-een voorbeeld:

x2 - 7x + 12 > 0.
(x – 3)(x – 4) > 0

We maken weer een tekeningetje. Het product is positief, als beide factoren hetzelfde teken hebben:

           3           4        
-----------|-----------|------------        
           ------------------------>    x - 3 > 0, dan is x > 3 
                       ------------>    x - 4 > 0, dan is x > 4 

<-----------                            x - 3 < 0, dan is x < 3
<----------------------                 x - 4 < 0, dan is x < 4

Nu overlappen de pijltjes elkaar links van 3 en rechts van 4. Oplossing dus: x < 3 en x > 4.

N.B. Als de opgave geluid had:

x2 - 7x + 12 ≥ 0

dan was de oplossing:

x ≤ 3 en x ≥ 4.

We kunnen dit ook anders oplossen. Als voorbeeld nemen we bovenstaande x² - 7x + 12 waaraan we de nulwaarden 3 en 4 ontlenen. Nulwaarden zijn getallen die een vorm (meestal spreken we van functie) als x² - 7x + 12 0 maken als we ze invullen. Eerst tekenen we een horizontale getallenlijn waarop 0 links ligt en waarop we het punt 3 aangeven.

    neg.  3     pos.                         
----------|-------------                        
 
         x - 3                         

Dan geldt: x – 3 is negatief als x < 3 en positief als x > 3. Anders gezegd: als x de waarde 3 passeert, verandert x – 3 van teken. Is x < 3, dan zeggen we: x ligt links van 3.

     pos.  3    neg.   4    pos. 
-----------|-----------|------------     
    
        (x -3)(x – 4)

We kijken nu voor welke waarden van x het product (x – 3)(x – 4) positief of negatief is, als we x alle mogelijke waarden laten doorlopen. Daarbij beginnen we met waarden van x, die kleiner zijn dan 3, en laten x toenemen (Op de getallenlijn tekenen we alleen de getallen 3 en 4). We hebben dan drie gevallen:

1. x < 3. In dat geval is x – 3 negatief en x – 4 ook, dus is (x – 3)(x – 4) positief.
2. 3 < x < 4. Dan is x – 3 positief en x – 4 negatief, dus ( x – 3)(x – 4) is negatief.
3. x > 4. Dan zijn x – 3 en x – 4 allebei positief, dus hun product ook.

Telkens als x een nulwaarde passeert, verandert de functie van teken. Het is dus voldoende, als we het teken van de functie voor één waarde van x (geen nulwaarde) kennen.

Ten slotte nog twee voorbeelden. Los op:

x3 - 4x > 0.

Oplossing. We schrijven deze ongelijkheid als

x (x + 2)(x – 2) > 0. 

De nulwaarden zijn -2, 0 en 2:

   neg.  -2     pos.    0     neg.   2     pos.
----------|-------------|------------|-------------

Is x < -2, dan is elke van de drie factoren negatief, dus hun product ook. Bij het passeren van elk nulpunt verandert de vorm van teken. In het interval tussen -2 en 0 is deze dus positief, tussen 0 en 2 negatief enzovoorts. De gezochte waarden van x zijn dus -2 < x < 0 en x > 2.

Los op:

10 - 3x - x2
------------ > 0
x2 – x  - 12

Ontbind teller en noemer in factoren:

(2 – x)(x + 5)
-------------- > 0
(x + 3)(x – 4)

Het quotiënt van twee getallen heeft hetzelfde teken als hun product, dus

(2 – x)(x + 5)(x + 3)(x – 4) > 0  

De nulwaarden zijn -5, -3, 2 en 4:

   neg.  -5     pos.   -3     neg.   2     pos.    4    neg.
----------|-------------|------------|-------------|------------

Is x < -5, dan zijn drie van de vier factoren negatief, dus is hun product negatief. In het interval tussen -5 en -3 is het dan positief, in het daarop volgende weer negatief, enzovoorts. De oplossing luidt dus -5 < x < -3 en 2 < x < 4. Had er ≥ achter de opgave gestaan in plaats van >, dan was het antwoord -5 ≤ x < -3 en 2 ≤ x < 4 geweest.

Opmerking: als twee nulpunten samenvallen bij factoren met een even exponent, zoals in

(x + 2)(x - 1)2 x(x - 3) < 0

dan zijn de intervallen aan beide zijden van dat nulpunt gelijk:

   neg.  -2     pos.    0     neg.   1     neg.    3    pos.
----------|-------------|------------|-------------|-------------

De oplossing is in dit geval dus x < -2 en 0 < x < 3.