Differentiaalrekening

Werk in uitvoering Aan dit artikel wordt de komende uren of dagen nog gewerkt. Belangrijk: Laat dit sjabloon niet langer staan dan nodig is, anders ontmoedig je anderen om het artikel te verbeteren. De maximale houdbaarheid van dit sjabloon is twee weken na de laatste bewerking aan het artikel. Kijk in de geschiedenis of je het artikel kunt bewerken zonder een bewerkingsconflict te veroorzaken.

Werk in uitvoering Aan dit artikel wordt nog hard gewerkt.

De differentiaalrekening is een methode in de wiskunde. Het uitvoeren ervan heet afleiden of differentiëren.

Basis

Je hebt een bepaalde basisformule. Die bestaat uit een getal, een variabele (vaak gedefinieerd als X) en een bepaalde macht. Hier komt een bepaalde andere coördinaat uit, dus je stelt hem gelijk aan Y. De basisformule is dan Y = X^N. Als je deze functie differentiëert krijg je de volgende functie: Y = NX^N-1.

Limieten

Dit alles heeft te maken met limieten. Dit schrijf je zo: Y kan je vervangen door f(X). De reden waarom doet er weinig toe voor nu. Dus je krijgt in feite: f(X) = X^N. Je schrijft een gedifferentieerde functie als f'(X). Dus de gedifferentieerde functie is f'(X) = NX^N-1. Nou komen we dus bij die limieten. Een afgeleide is in feite hoeveel een lijn stijgt of daalt in een punt. Dus de lijn y = x stijgt altijd met 1. Dat is met een parabool niet zo. Die heeft een veranderende stijging, zie de grafiek rechts. Die bereken je met een limiet. Die schrijf je zo: f'(X) = lim H→0 (f(X+H) - f(X))/H. Waarschijnlijk weet je niet wat dit betekent. In feite betekent X een bepaald ongedefinieerd punt op de parabool, op de x-as. Dit kan elk punt op de parabool zijn. H is het verschil in de x-coördinaat tussen een willekeurig coördinaat en punt X. H→0 betekent dat H zo dicht mogelijk bij 0 moet liggen, bijvoorbeeld 0,000000001. Het kan echter nooit 0 zelf zijn, want je deelt door H, en je kan nooit delen door 0. In makkelijkere bewoordingen, als X 1 is, is X+H 1,00000000001. Wat je in feite doet is heel erg inzoomen op een parabool, totdat je een rechte lijn ziet. Op een parabool ziet dat eruit als een punt, hier 1.

Herleiden naar df/dx

Je weet nu wat f'(X) = lim H→0 (f(X+H) - f(X))/H betekent. Je kan dit herleiden naar df/dx, oftewel de verandering van de functie, de y-coördinaat, gedeeld door de verandering van de x-coördinaat. Dit is je richtingscoëfficiënt. Bij de lijn y = 2X bereken je dat zo: f(X) = 2X. Vul je die in in de formule f'(X) = lim H→0 (f(X+H) - f(X))/H, dan krijg je het volgende: f'(X) = lim H→0 (2X + 2H - 2X)/H. Dit geeft f'(X) = 2H/H = 2. Hierbij is 2H dus df en H is dan dx. Dit is een rechte lijn, in elk punt is de verandering gelijk. Maar in parabolen is dat niet zo.

Algemene herleiding

Om het nog wat verwarrender te maken kan je X ook schrijven als a in de formule f'(X) = lim H→0 (f(X+H) - f(X))/H. Dan krijg je het volgende: f'(a) = lim H→0 (f(a+H) - f(a))/H. Dit is nodig, want dan kan X een andere functie krijgen. Als a dus, zoals X eerst, een willekeurige x-coördinaat op de grafiek zoals een parabool is, dan is X nu gelijk aan a + H. Weet je het voorbeeld nog, dat als X 1 is, is X+H 1,00000000001? Dat schrijf je nu dus als: als a 1 is, is X a + H, dus 1,00000000001. H is dus nog steeds 0,00000000001. Je weet dus dat X = a + H. Wat is dan H? H is dan gelijk aan X - a. H = X - a. Dat klopt, want X = 1,00000000001 en a = 1. Dan is H 0,00000000001. Al deze gegevens zet je in de formule f'(a) = lim H→0 (f(a+H) - f(a))/H. We hebben gezegd dat a+H = X en dat H = X-a. Dat geeft ons het volgende: f'(a) = lim H→0 (f(X) - f(a))/(X-a). Dit lijkt al meer op df/dx. Zoals je weet is het verschil X en a gedefinieerd als het oneindig kleine H. De f voor de limiet betekent simpelweg dat dat het hoogteverschil, de y-coördinaat is van H. Een verschil noteren we als Δ, maar een oneindig klein verschil als d. Aangezien a een bepaald x-coördinaat is kan je zeggen dat er twee y-coördinaten worden gedeeld door twee x-coördinaten. Het verschil hiertussen is oneindig klein. Dat schrijf je als df/dx. En hiermee is de herleiding ten einde.

Voorbeeld

Parabool met y = x². Raaklijn is y = 2x-1.

Hier is een bepaald voorbeeld. We zien hier een dalparabool met de formule y = x² met een raaklijn door het punt (1,1). We gaan de raaklijn opstellen met behulp van het net geleerde.

Stap 1

Controleer of het punt (1,1) op de grafiek ligt. De x-coördinaat is 1, dus je krijgt y = 1². 1² is 1, dus het punt ligt op de grafiek.

Stap 2

Differentiëer de formule. Er is helaas geen rechte lijn, dus het wordt al moeilijker. We hebben de algemene differentiëerformule f'(a) = lim H→0 (f(a+H) - f(a))/H. De grafiek heeft de formule f(X) = X². We willen differentiëren in het punt (1,1). Dat geeft ons een x-coördinaat van 1. We hebben wel een kwadraat, dus we moeten goed opletten. Dat betekent dat hier het volgende uit komt: f'(1) = lim H→0 ((1+H)² - (1)²)/H. Uitwerken volgens de rekenregels geeft: f'(1) = lim H→0 ((1+2H+H²) - 1)/H. Als we dit herleiden krijg je f'(1) = lim H→0 (2H+H²)/H, en nog verder herleiden geeft f'(1) = 2+H. Nou zit je nog met die H, maar die is dus zo goed als 0. Die kan je dus laten vervallen, dus dan krijg je f'(1) = 2. De richtingscoëfficiënt is dus 2.